如何证明k^2+1不是完全平方数？

若k^2+1为平方数
则k^2+1=m^2,m为正整数
1=m^2-k^2=(m+k)(m-k)
m,k均为正整数，
m+k,m-k整除1
则m+k=m-k=1
得m=1,k=0矛盾

若k为正整数
k(k+1)q^2=p^2
则k(k+1)为平方数
不可能

k^2+1+2k=(k+1)^2,故k^2+1+2k开方的结果为k+1，而k^2=k^2，故k^2开方的结果为k,易知k+1与k是相邻的整数，而k^2+1+2k大于k^2+1大于k^2，假设k^2+1为完全平方数，则必有一整数大于k且小于k+1，显然假设不可能，所以k^2+1不是完全平方数

假如成立：
k^2+1=m^2
(m+k)(m-k)=1

那么m+k=1
m-k=1

m=1 ,k=0
所以假设不成立